Математика – це наука, яка відіграє велику роль у житті кожної людини, тому тема її важливості буде актуальною завжди. В школі перед учителями математики ставиться мета: навчити дитину мислити, привити інтерес до такого потрібного і водночас важкого предмету.

Часто учні стомлюються від ролі пасивного слухача. Вони не знають , навіщо їм усе те, про що розповідає вчитель. Цю проблему порібно вирішувати на кожному кроці. Тому я обрала тему над якою працюю «Активізація пізнавальної діяльності учнів на уроці математики». На своїх уроках я ставлю мету не лише пройти з дітьми необхідний теоретичний матеріал та сформувати навички розв’язування  задач, а продовжити формувати в учнів вміння та бажання вчитися, розвивати та вдосконалювати в учнів вміння та бажання вчитися, розвивати і вдосконалювати логічне мислення, загальнолюдські якості, вміння працювати самостійно, постійне бажання до самовдосконалення.

Далеко не всі учні захоплюються математикою. Не всі зацікавлені у збагаченні знань, бо математика їм здається надто формальною, важкою для сприймання. Саме ці фактори змушують мене шукати нові, більш активні форми і методи навчання, зокрема, інтерактивні, в основі яких лежить, поряд з колективною а індивідуальною, групова форма роботи. Групова навчальна діяльність дає змогу реалізувати  прагнення учнів до спілкування, взаємодопомоги та співпраці. Ефективність групової навчальної діяльності підвищується, якщо її поєднати з дидактичною грою. Ці форми та методи яскраво проявляються при проведенні нетрадиційних уроків.

Урок, проведений нестандартно, стимулює творчість учителя і його вихованців, створює сприятливі умови для співробітництва учнів один з одним і з учителем. До таких уроків слід готуватись особливо ретельно, а тому нетрадиційні уроки проводжу не так вже й часто.

Працюючи вчителем математики, я дійшла до висновку: якщо хочеш, щоб на уроках було цікаво, учні не нудьгували. А відчували, що не гають часу даремно, необхідно дати їм можливість приймати рішення, критикувати, висловлювати свої думки, робити вибір. На уроці повинна бути тісна співпраця між тим, хто навчає і тим, кого навчають, досягнута атмосфера сприйняття. Акцент ставити на особистість учня, розвивати в нього компетенцію, викликати інтерес до пізнання. Розвивати його творчий потенціал. Роль учителя полягає в тому, щоб допомогти, порадити, створити передумови для активного експериментування, і пошуків. Існує ціла гама технологій. Які дають змогу навчати цікаво. Швидко, практично. Сучасно, ефективно, цікаво давати міцні знання

Продовж всієї моєї педагогічної діяльності не втрачає актуальності питання про те, як розкрити свої здібності, як знайти себе в цій, одній з найцікавіших, найскладніших та  найгуманніших професій. Тому що я маю справу з найскладнішим, неоціненним, найдорожчим, що є в житті – з людиною. Від мого вміння, майстерності, мистецтва, мудрості залежить здоров’я, розум, характер, воля, інтелектуальне обличчя дитини, її місце  й роль у житті, її щастя. Я частково формую людину і це дуже відповідально. Невдачі і радощі дитини відгукуються у думках, моїми тривогами та турботами. Творчість у праці – це, в моєму розумінні невпинне пізнання дитини, дитячого колективу, це поєднання душевних рис з мудрістю, знанням, досвідом роботи в педагогічній праці.

Доброзичливість, уважність, чуйність, гумор, емоційна культура – це супутники успішного навчання дітей. Дитині зичу добра в її розумовій праці. Тільки так  в учня виховується, розвивається почуття власної гідності і це почуття залежить від успіхів у навчанні. Успіхи у навчанні, в оволодінні програмою з математики – одне з найважливіших завдань учителя математики. Але для кожного учня існують свої особисті успіхи у навчанні. Не потрібно вимагати від дітей неможливого. Тому дуже привітно ставлюся до оцінювання результатів знань та вмінь учнів за 12-бальною системою, коли кожний бал – це позитивний крок у вивченні предмета, у досягненні учнем певного рівня. Через це для мене диференційна, індивідуальна, групова  робота  з учнями на уроках і в позаурочний час має велике значення. Я не хочу, щоб учні бачили в мені сурового контролера, а в оцінці - палицю.

Одним із засобів зацікавлення учнів математикою є позакласна робота, яка сприяє розвитку здібностей учнів, а також глибинному засвоєнню ними матеріалу. На цих заняттях я організовую розв’язання складніших цікавих задач, що розвивають кмітливість, логічне мислення.

Позакласна робота має велике виховне значення. Конкурси, змагання виховують бажання пізнати цікавий світ математики, а також товариськість, толерантне ставлення до суперників, прагнення самовдосконалюватись та не зупинятися на досягнутому. Важливим елементом у моїй позакласній роботі з учнями є проведення підготовки і участь у  Міжнародному математичному конкурсі «Кенгуру»

         Позакласні заняття дають велику користь і мені, бо  сприяють не тільки проведенню учбової діяльності: вчитель - учень, а й спілкуванню з учнями. Готуючись до занять, позакласних заходів систематизую знання і знаходжу нові методи викладання математики, поповнюю свою бібліотеку математичною та методичною літературою.

Пропоную добірку матеріалів, які можна використати учителю математики в позакласній роботі, при підготовці учнів до участі в конкурсах, олімпіадах (див. матеріали папки).

Намагаюсь зацікавити учнів предметом. Це запорука успішного навчання.

Пропоную учням теми рефератів, теми математичних творів. Часто учні виготовляють моделі, які потім використовую на уроках.

 Проводжу нестандартні уроки з математики:

·        уроки - лекції;

·        уроки – КВК;

·        уроки – вікторини;

·        уроки з елементами гри;

·        практичні, лабораторні уроки з алгебри та геометрії;

·        уроки-семінари;

·        урок огляду знань (відкритий урок для батьків учнів);

·        урок однієї задачі (різні способи розв’язання задачі);

·        урок цікавих задач.

Використовую на уроках різні форми, методи та засоби навчання, між предметні зв’язки. Деякі уроки проводжу у вигляді гри, що допомагає учням відчувати себе природно, позбавляє страху перед помилкою, та як наслідок - мислити самостійно, зосереджуватись, викликає захоплення. Під час проведення застосовую математичні диктанти з само або взаємоперевіркою, ділові ігри, деякі з них «за круглим столом».

         Моя робота – розвиток творчих здібностей учнів. Це і є метою моєї діяльності. Готуючись до уроків, обов’язково аналізую зміст матеріалу, чітко виділяю учням те, що треба зберегти в пам’яті , запам’ятати . Важливі висновки, формули, правила, закони, типові питання, завдання – від них залежить розвиток мислення, розумових здібностей, якість навчання. Вчу умінню користуватися знаннями. Учні ведуть спеціальні зошити (блокноти) для запису матеріалу, який треба берегти в пам’яті. Вчу учнів виділяти головне. На полях у робочому зошиті яскраво записуємо те, що важливо, що треба запам’ятати, звернути увагу. Вчу спостерігати, вчу бачити, зосереджуватися. Наш девіз: «Дивись і думай!», «Що бачу, те й співаю!»

         Використовую на уроках повчальні моменти казок,  притчі, випадки з життя, прислів’я, цитати. Це подобається  учням та доступно, без зайвих нотацій вчить тому чи іншому.

         Разом з цим наголошую на додаткові необхідні знання, для індивідуального вивчення на уроці і в позакласний час, на необов’язкові  питання, на питання, задачі «високого рівня». Формую поняття, що знати – це значить  ще й вміти застосовувати знання, чим більшими знаннями володіє учень, тим легше йому вчитися.

         Прагну, щоб  знання учня були не кінцевою метою, а засобом, щоб вони не перетворювалися в мертвий багаж, а жили в розумовій праці дитини. На уроках прагну до активності, насамперед думки учня, щоб знання добувалися за допомогою вже набутих знань, щоб перед дітьми постало питання, на яке треба знайти відповідь. Хочу, щоб учні запам’ятовували учбовий матеріал  через його   осмислення. Бо зрозуміти – ще не значить знати, для знань потрібно осмислити, володіти знанням наче уявною кулькою,  що обертається  до учня потрібним йому боком. Осмислювання часто можна досягти через практичну роботу. В цьому також важливим є застосовування знань. А саме осмислення є водночас і поступовим запам’ятовуванням . Тому на уроках після пояснення нового матеріалу прошу учнів зробити висновок, сформулювати правило, алгоритм  виконання, теорему, тощо. Завжди заохочую учнів до цього творчого процесу, самостійного «відкривання», створення математичних понять, правил, теорем, тощо. На уроках вчу працювати з підручником (знайти відповідь, прочитати про…, скласти план, законспектувати). Взагалі на уроках важливо показати учням : Що? Як? Навіщо?

         В своїй діяльності багато уваги приділяю формуванню в учнів навичок навчання, які будуть потрібні їм у процесі життя, самостійності в оволодінні інформацією, знаннями. Провожу семінарські заняття. Починаючи з 5-6класу привчаю дітей самостійно опановувати навчальний матеріал, проводжу семінари, адаптуючи їх до віку дітей. Працюючи у  9-11 класах   проводила декілька семінарів для курсантів ЧОІППО, директорів області. Проводила конференцію для паралелі 10-х класів по темі: «Паралельне проектування. Зображення просторових фігур на площині»(див. папку з досвіду роботи). Відкриті уроки давала на шкільному, міському, обласному рівнях.

         Хочу навчити дітей вчитися ціле життя, самостійно поповнювати свої знання, навчити працювати творчо!

Хочу, щоб виховання та навчання дітей, любов та повага до них, вимоги до них та щира дружба з ними – щоб все це було  сенсом моєї роботи в школі. Щоб і надалі праця давала мені радість, наснагу до життя та самовдосконалення, до творчого пошуку в вихованні та навчанні моїх учнів!

Тема. Нерівність з однією змінною. Система та сукупність нерівностей з однією змінною

Мета уроку: засвоєння учнями змісту понять: нерівність з однією змінною, розв'язок нерівності з однією змінною та що означає розв'язати нерівність з однією змінною; система нерівностей з однією змінною, розв'язок системи нерівностей з однією змінною та що означає розв'язати систему нерівностей з однією змінною; сукупність нерівностей з однією змінною, розв'язок сукупності нерівностей з однією змінною та що означає розв'язати сукупність нерівностей з однією змінною. Виробити в учнів уміння: відтворювати зміст вивчених понять і використовувати їх для розв'язування завдань.

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель повідомляє учням результати виконання тематичної контрольної роботи № 1; дає учням інформацію про орієнтовний зміст матеріалу, що пропонується до вивчення в другому розділі теми 1, та питання, які будуть винесені на контроль; налаштовує учнів на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

На початку уроку вчитель збирає на перевірку зошити з виконаним домашнім завданням (якщо таке було задано).

III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів

Для свідомого сприйняття учнями логіки навчального процесу вчитель може провести бесіду (або організувати відповідним чином самостійну роботу учнів з порівняння), У ході якої проводитимуться паралелі між поняттями «рівності» та «нерівності», а звідси цілком логічним буде перехід до понять «рівняння» та «нерівності». Таким чином учні усвідомлюють, що так само, як і у випадку з рівностями (які бувають числовими та рівностями з невідомими — рівняннями), нерівності умовно поділяють на числові й такі, що містять невідомі числа, замінені буквами, значення яких треба знайти. Логічно буде після досить докладного вивчення означення та властивостей числових нерівностей перейти до вивчення іншого виду нерівностей. Таким чином формулюється узагальнена мета розділу «Лінійні нерівності з однією змінною. Системи нерівностей з однією змінною» теми 1 «Нерівності». Завдання ж уроку полягає у формуванні в учнів уявлення про зміст нових і супутніх понять.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1.   Коли число а більше від числа b; менше від числа b? (Дайте означення, наведіть приклади.)

2.   Як розміщені на координатній прямій точки, що відповідають числам а і b, якщо а  b? Наведіть приклади.

3.   Які нерівності називають строгими? нестрогими? Наведіть приклади.

4.   Сформулюйте властивості числових нерівностей. Наведіть приклади.

5.   Сформулюйте властивість про почленне додавання нерівностей. Наведіть приклади.

6.   Сформулюйте властивість про почленне множення нерівностей. Наведіть приклади.

7.   Сформулюйте наслідки з властивостей числових нерівностей. Наведіть приклади.

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Уявлення про нерівність з однією змінною.

2.   Розв'язок нерівності з однією змінною та що означає розв'язати нерівність з однією змінною.

3.   Система нерівностей з однією змінною, розв'язок системи нерівностей з однією змінною та що означає розв'язати систему нерівностей з однією змінною.

4.   Сукупність нерівностей з однією змінною, розв'язок сукупності нерівностей з однією змінною та що означає розв'язати сукупність нерівностей з однією змінною.

Нерівності з однією змінною та їхні системи і сукупності

1. Нерівність з однією змінною Якщо два вирази зі змінною поєднати одним із знаків > (більше); < (менше); ≥ (більше або дорівнює); ≤ (менше або дорівнює), то отримаємо нерівність з однією змінною.

Наприклад: х2 + 1 > х – 1; 3х – 1 ≥ x + 2;  ≤ х – 3 і т. д. Розв'язком нерівності зі змінною називається значення змінної, при якому дана нерівність перетворюється на правильну числову нерівність. Наприклад, для нерівності  ≤ х – 3 х = 4 не є розв'язком, бо 2 < 1 неправильно, а для нерівності 3х – 1 ≥ х + 2 є розв'язком, бо 3 ∙ 4 – 1 > 4 + 2 — правильна нерівність.

2. Система нерівностей з однією змінною Якщо треба знайти спільні розв'язки нерівностей з однією змінною, то кажуть, що треба розв'язати систему нерівностей. Систему нерівностей записують за допомогою фігурної дужки.

Наприклад:

Розв'язком системи нерівностей з однією змінною є значення змінної, яке є розв'язком кожної з нерівностей системи.

Наприклад: х = 3 є розв'язком системи  бо при х = 3 3 – 3 < 1 і 2 ∙ 3 – 1 > 3 є правильними нерівностями (х = 3 є розв'язком кожної з нерівностей).

3. Сукупність нерівностей з однією змінною Якщо ставиться завдання знайти значення змінної, яке є розв'язком хоча б однієї з даних нерівностей, то кажуть, що слід розв'язати сукупність нерівностей. Сукупність нерівностей записують за допомогою квадратної дужки.

Наприклад:  Розв'язком сукупності нерівностей з однією змінною називається таке значення змінної, яке є розв'язком хоча б однієї з нерівностей сукупності.

Наприклад: х = 1 є розв'язком сукупності бо х = 1 є розв'язком нерівності 2х – 1 < 3 (при х = 1 ця нерівність перетворюється на правильну: 2 ∙ 1 – 1 < 3).

Розв'язати нерівність (систему нерівностей або сукупність нерівностей) означає знайти всі її розв'язки або довести, що їх немає.

При формуванні уявлень учнів про зміст понять системи та сукупності нерівностей слід звернути увагу учнів на те, що розв'язання системи передбачає пошук усіх спільних розв'язків, а розв'язання сукупності передбачає пошук таких розв'язків, які є розв'язками хоча б однієї з нерівностей. Тому спосіб дій при перевірці того, чи буде дане число розв'язком системи або, навпаки, сукупності нерівностей, суттєво відрізняється.

VI. Формування вмінь

Усні вправи

1.   Знайдіть значення виразу:

1) 2х – 1 при х = 2; 0,2;                       

2) 4х + 5 при х = 2; 0,2.

2.   Чи буде правильною нерівність:

1) 3х – 5 > 0 при х = -1; 2; 1;   

2) 5 – 0,2х < 7 при х = 0; -10; -100?

3.   Назвіть:

1) найменше ціле число, що задовольняє нерівність -2 < х < 3;

2) найменше натуральне число, що задовольняє нерівність -2 < х < 3;

3) найбільше натуральне число, що задовольняє нерівність -2 < х < 3.

4.   Чи є число -3 коренем рівняння:

1) х + 3 = 0;               

2) (х + 3)(x – 7) = 0;   

3) х3 – 3х + 18 = 0?

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку учні мають розв'язати вправи такого змісту:

1)  перевірити, чи є дане число розв'язком нерівності з однією змінною (або системи нерівностей, або сукупності нерівностей);

2)  назвати числа певної числової множини, що є розв'язками даної числової нерівності;

3)  на повторення: вправи на перетворення цілих виразів та на розв'язування лінійних рівнянь з однією змінною; вправи на застосування властивостей числових нерівностей з однією змінною.

Методичний коментар

Вправи, що пропонуються для розв'язання на цьому етапі уроку, мають сприяти закріпленню учнями знань про зміст основних понять уроку та повторенню питань, пов'язаних з числовими множинами та розташуванням чисел на координатній прямій, які на наступному уроці будуть підґрунтям для вивчення понять «числовий проміжок»; «переріз та об'єднання числових проміжків».

При розв'язуванні вправ слід постійно вимагати від учнів відтворення вивчених понять та дотримання ними правильної послідовності дій: підставити значення змінної у нерівність (нерівності); виконавши обчислення, перевірити, чи перетвориться нерівність (нерівності) на правильну (правильні); зробити відповідний висновок. Таким чином ми домагаємося закріплення знань учнів з цього питання та алгоритмізуємо їхні дії.

VII. Підсумки уроку

Контрольне запитання

Яке з чисел: х = 1; х = 4; х = 5 — є розв'язком:

1) нерівності 2x – 3 < 5;      

2) системи     

3) сукупності 

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити зміст понять, розглянутих на уроці (див. опорний конспект № 6) та схему дій щодо використання цих понять для розв'язування задач.

2.   Виконати вправи на закріплення вивчених понять і способів дій (аналогічні за змістом вправам класної роботи).

3.   На повторення: вправи на відновлення вмінь застосовувати властивості числових нерівностей та рівняння з модулем.

мій.

Тема. Числові проміжки. Переріз і об'єднання проміжків

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями змісту понять: числовий проміжок, переріз та об'єднання числових проміжків, а також усвідомлення учнями існування різних видів числових проміжків, що відповідають різним видам нерівностей. Розпочати роботу з вироблення вмінь відтворювати зміст вивчених понять, записувати числові проміжки, що відповідають різним видам нерівностей з однією змінною, знаходити переріз числових проміжків для розв'язування системи нерівностей з однією змінною, а також об'єднання числових проміжків для розв'язування сукупності нерівностей з однією змінною. (Додатково: вивчити у зв'язку з цими питаннями способи розв'язування найпростіших нерівностей з однією змінною, що містять змінну під знаком модуля.)

Тип уроку: формування знань, вироблення первинних умінь.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Форма проведення цього етапу уроку залежить від того, на якому рівні були сформовані знання й уміння учнів на момент закінчення попереднього уроку. У випадку, коли учні на попередньому уроці показали високий або достатній рівень засвоєння знань та вмінь, можна на етапі перевірки домашнього завдання провести навчальну самостійну роботу із завданнями, зміст яких відповідає змісту завдань домашньої роботи (по закінченні виконання роботи обов'язково проводиться само- або взаємоперевірка та аналіз помилок з відтворенням змісту відповідних понять). Якщо ж учні мали на попередньому уроці певні труднощі із засвоєнням знань та вмінь, то перевірку домашнього завдання можна провести за зразком або у формі гри «Знайди помилку». У будь-якому разі перевірка домашнього завдання передбачає відтворення змісту основних понять, вивчених на попередньому уроці.

III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів

На цьому етапі доречним буде відтворення понять, вивчених на попередньому уроці, та особливо робота з поняттям «що означає розв'язати нерівність з однією змінною (або систему таких нерівностей чи їх сукупність)» та як записати відповідь у випадку виконаного розв'язання. Учителеві слід спрямувати думку учнів на усвідомлення того, що у більшості випадків нерівності з однією змінною на відміну від рівнянь мають безліч розв'язків, а тому записати всі розв'язки, перелічивши їх, просто неможливо. Таким чином робиться висновок про існування певного протиріччя між відомими учням способами запису розв'язків та неможливістю цими способами скористатися. Свідоме сприйняття учнями цих тверджень приводить їх до розуміння того, що на порядку денному постає питання про вивчення нових способів запису розв'язків нерівностей, які, з одного боку, були б повними, а з іншого — лаконічними. Тобто формулюється основна дидактична мета уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів
Усні вправи

1.   Яке з чисел: 2; -0,2;  — є розв'язком:

1) нерівності 2х – 1 < 0;                        2) системи нерівностей 

3) сукупності нерівностей  4) рівняння 5х – 1 = 9?

2.   Де на координатній прямій містяться числа, якщо вони:

1)      більші за число 3;

2)      менші за число 3;

3)      більші за число 3, але менші від числа 5;

4)      є розв'язками рівняння | x | = 3?

Скільки таких чисел існує в кожному з випадків 1—4?

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Зміст поняття «числовий проміжок».

2.   Види числових проміжків (залежно від виду відповідної нерівності). Приклади.

3.   Переріз числових проміжків. Як знайти розв'язок системи нерівностей.

4.   Об'єднання числових проміжків. Як знайти розв'язок сукупності нерівностей.

Числовий проміжок — вид запису множин, що є розв'язками нерівностей з однією змінною. Види числових проміжків
	Проміжок	Приклад
	1.  а < х < b	2 < x < 3
	2. а ≤ х ≤ b	2 ≤ х ≤ 3
	3. х > а	х > -2
	4.  х ≥ а	х ≥ -2
	5. х < а	х < 3
	6. х ≤ а	х ≤ 3
	Переріз і об'єднання проміжків Приклад 1. Розв'яжемо систему нерівностей   (рис. 1).
Розв'язання. (3; 5) — спільна частина проміжків (3; + ∞) і (-∞; 5), тому (3; 5) — це переріз проміжків (3; + ∞) і (-∞; 5) (розв'язок системи ). Відповідь: (3; + ∞)(-∞; 5) = (3; 5).
Приклад 2. Розв'яжемо систему нерівностей  (рис. 2).
Розв'язання. Проміжок (-1; 3) складається з чисел, які є розв'язком хоча б однієї з нерівностей 2 < х < 3 або -1 < х < 2,5, тому є об'єднанням цих проміжків (розв'язком сукупності). Відповідь: (2; 3) (-1; 2,5) = (-1; 3).

Методичний коментар

Поняття числового проміжку зазвичай формулюється перед вивченням питання про способи розв'язування нерівностей як одне з базових. Зауважимо, що числовий проміжок традиційно трактується як певний вид запису розв'язків нерівностей, що являє собою запис числової множини, яка є фактично відрізком координатної (числової) прямої. Після такого загального подання наводяться приклади різних нерівностей з однією змінною, і таким чином формується уявлення учнів про різні види числових проміжків. При розгляді нерівностей виду х > а і х < а учні знайомляться з поняттям ∞(нескінченності) як умовного способу позначення чисел, що лівіше/правіше від усіх інших чисел на координатній прямій.

Також при вивченні видів числових проміжків учні мають усвідомити, що між записом числових проміжків, що відповідають строгим та нестрогим нерівностям, є відмінність (різні дужки), й ігнорувати цю відмінність означатиме записувати неправильно розв'язки даної нерівності. Оскільки при записі числових проміжків слід ураховувати кілька моментів, то вже на самому початку вивчення цього питання треба показати учням основні кроки правильного виконання цього запису, а саме: спершу виконати зображення числової прямої, потім зобразити на ній числа, записані в нерівності, після чого позначити штрихом проміжок, що відповідає нерівності, далі записати його кінці (зліва направо), після чого ставити в записі дужки (відповідно до того, який знак — сторогий чи нестрогий — має ця нерівність).

Після вивчення питання про види числових проміжків відповідно до різних видів нерівностей з однією змінною формулюється уявлення про зміст поняття «переріз та об'єднання числових проміжків». Оскільки учні не знайомі з основними поняттями теорії множин, зміст цих понять доречно буде прив'язати до вивчених на попередньому уроці понять «розв'язки системи та сукупності нерівностей». Усі міркування докладно подані в підручнику, тому вчитель на свій розсуд або пропонує учням самостійно за підручником опрацювати цей матеріал, або здійснює доведення під час фронтальної бесіди.

У стислій формі матеріал уроку подано у вигляді опорного конспекту № 7.

VI. Формування вмінь

Усні вправи

1.   Чи належить проміжку [-7; -4] число:

1) -10;    2) -6,5;    3) -3;    4) 1?

2.   Чи належить проміжку (-4; 2) число:

1) 3,5;     2) -1;    3) 1,2?

3.   Укажіть найбільше ціле число з проміжку:

1) [-1; 4];    2) (-∞; 3);    3) (-∞; -2,5).

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:

1)  виконати зображення даного числового проміжку на координатній прямій;

2)  виконати зображення на координатній прямій та потім записати числовий проміжок, що відповідає даній нерівності;

3)  визначити, які з даних чисел належать числовому проміжку;

4)  знайти переріз та об'єднання даних числових проміжків;

5)  записати розв'язки систем та сукупностей нерівностей.

Методичний коментар

Вправи, запропоновані до розв'язання на цьому етапі уроку, мають відповідати за змістом прикладам, розв'язаним у підручнику

При виконанні запропонованих вправ на запис числових проміжків учні мають дотримуватися послідовності дій, викладеної учителем при формуванні знань про види числових нерівностей. Тільки в цьому випадку можна сподіватися на формування сталих умінь виконувати правильні записи числових проміжків, що є розв'язками нерівностей та їхніх систем.

VII. Підсумки уроку

Контрольне завдання

Установіть відповідність між нерівностями та проміжками:

1)   x > 3 2)   х ≥ 3 3)   2 ≤ х < 3 4)   х ≤ 3 5)   х ≤ 2 6)    7)

а)   (-∞; 3) б)   (3; +∞.) в)   (-∞; 2] г)   (-∞; +∞)       д)   [3; + ∞)       є)   [2; 3] є)   [2; 3) ж)  (-∞; 3]

Які записи зайві? Відповідь обґрунтуйте.

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити зміст понять: числовий проміжок, переріз та об'єднання числових проміжків, а також інформацію про види числових проміжків.

2.   Розв'язати вправи репродуктивного характеру на застосування вивчених понять.

3.   На повторення: завдання, що передбачають застосування властивостей числових нерівностей, розв'язування лінійних рівнянь з однією змінною (різні випадки) і тотожні перетворення цілих виразів.

Тема. Лінійні нерівності з однією змінною

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями змісту понять: лінійна нерівність з однією змінною, рівносильні нерівності, рівносильні перетворення нерівності та способів рівносильних перетворень нерівностей; схеми розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною. Виробити вміння: відтворювати зміст вивчених понять та алгоритмів; виконувати дії відповідно до схеми розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною і найпростіші рівносильні перетворення нерівностей із застосуванням властивостей числових нерівностей та наслідків із них.

Тип уроку: формування знань, вироблення первинних умінь.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Оскільки вправи домашнього завдання є вправами репродуктивного (в основному) характеру, то перевірку домашнього завдання можна здійснити або частково (тільки в учнів, що потребують додаткової педагогічної уваги), або можна запропонувати учням перевірити відповіді (правильні відповіді заздалегідь записані за дошкою або роздані як картки для самостійного опрацювання), або провести діагностичну самостійну роботу з наступною перевіркою.

III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Для усвідомлення учнями необхідності вивчення нового матеріалу можна певним чином створити проблемну ситуацію: запропонувати учням спочатку виконати завдання на перевірку того, чи є дане число розв'язком нерівності з однією змінною, а потім розв'язати ту саму нерівність (нагадавши попередньо, що розв'язати нерівність означає знайти всі її розв'язки або довести, що їх немає). Усвідомлення учнями неможливості розв'язання конкретної задачі із застосуванням тих знань та вмінь, якими вони володіють, створює мотивацію до вивчення питання про види та способи розв'язування найпростіших нерівностей з однією змінною. Таким чином формулюється дидактична мета уроку, а також виділяються завдання для учнів на урок.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1.   Яке із чисел: -2; 3 — є розв'язком нерівності:

1) (х – 1)(х + 2) > 0;   

2) 2х – 3 < 0?

2.   Чи належить проміжку [-3; 5,2) число:

1) -3;  2) 0;    3) 5;    4) 5,2;    5) 6?

3.   Відомо, що 5 < а < 7. Оцініть значення виразу:

1) а + 1;    2) 3а;    3) а – 3;    4) -3а;    б) – 1;    6) .

4.   Спростіть вираз:

1) 4(x – 3) + 1;                    

2) 12 – 3(1 – 2x);

3) 5(2z + 7) + 14(5 – z);              

4) х2 – 3х – 8 – х(х + 2).

5.   Розв'яжіть рівняння:

1) 3х = 6;    2) 0х = 0;     3) 0х = -3.

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Поняття рівносильних нерівностей. Рівносильні перетворення нерівностей.

2.   Поняття лінійної нерівності з однією змінною.

3.   Схема розв'язування лінійної нерівності з однією змінною.

4.   Як розв'язати нерівність з однією змінною, що зводиться до лінійної. Приклади.

Методичний коментар

Відповідно до даного плану викладання матеріалу формування знань учнів на даному уроці розпочинається з вивчення означення рівносильних нерівностей з однією змінною і продовжується вивченням формулювань основних теорем рівносильності (які даються без доведення та пояснюються на прикладах). Для кращого розуміння учнями цього фрагменту матеріалу уроку можна запропонувати їм порівняти властивості числових рівностей та нерівностей і таким чином виявити як схожі, так і відмінні їхні риси. Результатом такого порівняння буде усвідомлення учнями існування певних аналогій між поняттями «рівняння та його розв'язання» і «нерівність і її розв'язання» та засобів розв'язування як одних, так і інших (та акцентувати увагу на відмінностях — при множенні або діленні обох частин нерівності на від'ємне число). Звернемо увагу, що в різних джерелах означення лінійної нерівності з однією змінною даються дещо по-різному: у традиційних підручниках останніх років це нерівність виду ax > b (ax < b, ах ≥b, ах ≤ b), а наприклад, у таблицях з алгебри для 7—11 класів [7] це нерівність виду ax+ b > 0 (ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0). Учням можна продемонструвати обидва означення і показати, що відмінність першого полягає тільки в тому, що описувану нерівність уже зведено до виду, аналогічного виду лінійних рівнянь з однією змінною (ах = b).

Порівнюючи лінійні нерівності з однією змінною та лінійні рівняння з однією змінною, слід зауважити, що з огляду на існуючу відмінність рівносильної властивості (див. множення або ділення обох частин нерівності на те саме від'ємне число), залежно від знака нерівності, можна скласти не одну схему розв'язування лінійної нерівності з однією змінною (особливо це стосується випадку, коли число а дорівнює 0), тому акцент треба робити не на заучуванні схем, а на розумінні дій, які скриті за цими схемами).

Завершальний етап вивчення нового матеріалу є практичною частиною (яка може бути подана як відповідь на запитання, поставлене на початку уроку): на прикладі нерівності з однією змінною під час коментування складається орієнтовна схема дій при розв'язуванні нерівності з однією змінною, що зводиться до лінійної. Під час коментування також доречним буде проведення паралелей з розв'язуванням відповідного рівняння з однією змінною.

Дві нерівності називають рівносильними, якщо вони мають ті самі розв'язки.
Деякі рівносильні перетворення нерівностей
1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу частину доданки з протилежними знаками, то утвориться нерівність, рівносильна даній. Наприклад: 2x – 3 > 6 і 2х > 9 —рівносильні нерівності.
2. Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на те саме додатне число, то утвориться нерівність, рівносильна даній. Наприклад: 2x > 6 і х > 3,  > 6 і x > 12 —рівносильні нерівності.
3. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на те саме від'ємне число і змінити знак нерівності на протилежний, то утвориться нерівність, рівносильна даній.
Наприклад: -3х > 6 і х < -2;  > 6 і x < – 18 —рівносильні нерівності.
Лінійна нерівність з однією змінною — нерівність виду ах > b, або      ах < b, або ах ≥b, або ах ≤ b, де а, b — дані числа, ах — змінна. Наприклад: 3х > 1; -x < -3; 0х > 3; 0х < 0 —лінійні нерівності.
Схема розв'язування лінійної нерівності
Приклад розв'язування нерівності, що зводиться до лінійної:
Розв'язати нерівність 9(х – 1) + 5х < 17х – 11	Коментар
9х – 9 + 5х < 17х – 11 14х – 9 < 17х – 11	1. Виконаємо тотожні перетворення лівої (і правої) частин нерівності.
14х – 17х < -11 + 9  -3х < -2	2. Перенесемо відомі доданки в одну частину нерівності, а невідомі — в іншу. Тотожно перетворимо обидві частини.
х >        x    Відповідь:	3. Оскільки коефіцієнт при х у лівій частині утвореної нерівності не дорівнює нулю, поділимо на нього обидві частини нерівності, змінивши її знак на протилежний (бо -3 < 0). Запишемо відповідний числовий проміжок — це і є відповідь — розв'язок даної нерівності.

VI. Формування вмінь

Усні вправи

1.   Визначте й обґрунтуйте, чи рівносильні дані нерівності.
1) 3х > 3 і х > 3;                  

2.   2) 3х > 3 і х > 1;

3) 3 + х > 5 і х > 5;             

4) 3 + х > 5 і х > 2.

3.   Розв'яжіть нерівність:

1) 3х > 3;           

2) х + 3 > 5;               

3) -3х > 3;          

4) х – 3 > 5;       

5) –х < 6;           

6) 0х < 7;           

7) 0х > 7.

4.   Спростіть вираз:

1) 8х – (х + 2);   

2) 8х – 5(х + 2); 

3) 9(х – 3) – 5(х + 2).

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:

1) перевірити, чи є дані дві нерівності рівносильними (використавши властивості рівносильності нерівностей);

2) розв'язати нерівності з однією змінною, що зводяться до лінійних нерівностей з однією змінною шляхом застосування одного з вивчених рівносильних перетворень;

3) розв'язати нерівності з однією змінною, що зводяться до лінійних нерівностей з однією змінною шляхом застосування кількох (або всіх) вивчених рівносильних перетворень;

4) на повторення: рівняння з однією змінною, що зводяться до лінійних рівнянь з однією змінною шляхом попереднього множення (або ділення) обох частин рівняння на те саме число — найменший спільний знаменник усіх дробів (або найбільший спільний дільник усіх коефіцієнтів).

Методичний коментар

Розв'язання вправ на цьому етапі уроку слід розпочати з вправ, що сприяють закріпленню учнями змісту понять «рівносильні нерівності» та «рівносильні перетворення нерівностей». При цьому в процесі розв'язування таких вправ слід вимагати від учнів свідомого коментування своїх дій з використанням вивченої термінології.

Наступна група завдань має на меті сприяти закріпленню в учнів знань щодо схеми розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною та виробленню в учнів сталих умінь як розв'язувати лінійні нерівності з однією змінною, так і виконувати рівносильні перетворення нерівностей з однією змінною.

Тільки переконавшись у тому, що основні навички розв'язування найпростіших нерівностей з однією змінною в учнів вироблено, можна переходити до більш складних прикладів, які сприяють вдосконаленню навичок тотожних перетворень.

Щоб підготувати учнів до сприйняття матеріалу наступного уроку (розв'язування нерівностей, що містять дроби з числовими знаменниками), на даному уроці учням пропонується кілька прикладів на повторення: на розв'язування рівнянь відповідного виду.

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1.   Які дві нерівності називають рівносильними?

2.   Як (якими способами) можна з даної нерівності (з однією змінною) утворити рівносильну їй нерівність?

3.   Нерівності якого виду називають лінійними нерівностями з однією змінною? Наведіть приклади.

4.   Які розв'язки може мати нерівність ах > b, якщо:

1) а > 0;     

2) а < 0;     

3) а = 0, b > 0;   

4) а = 0, b < 0?

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити зміст тверджень, розглянутих на уроці.

2.   Розв'язати вправи на закріплення змісту поняття «рівносильні перетворення нерівностей» і на вироблення вмінь розв'язувати лінійні нерівності з однією змінною та такі, що зводяться до лінійних шляхом найпростіших рівносильних перетворень (аналогічні за змістом та рівнем складності вправам класної роботи).

3.   На повторення: розв'язати рівняння (аналогічні розв'язаним у вправах на повторення — див. класну роботу) та розв'язати вправи на знаходження ОДЗ раціональних виразів.

Тема. Лінійні нерівності з однією змінною

Мета уроку: домогтися закріплення учнями змісту: означення рівносильних нерівностей та властивостей рівносильних нерівностей; означення лінійної нерівності з однією змінною та схеми Ті розв'язування залежно від різних значень коефіцієнтів. Доповнити знання учнів уявленням про схему дій при розв'язування нерівностей з однією змінною, що містять дроби із числовими знаменниками. Продовжити роботу з вироблення вмінь: відтворювати зміст вивчених понять і алгоритмів; застосовувати їх для розв'язування вправ, що передбачають розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною.

Тип уроку: закріплення знань, відпрацювання вмінь.

Наочність та обладнання: роздавальний матеріал (картки з розв'язаннями вправ домашнього завдання).

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Оскільки вправи домашнього завдання є вправами репродуктивного (в основному) характеру, то їх перевірку можна здійснити частково (тільки в учнів, що потребують додаткової педагогічної уваги) або запропонувати учням перевірити відповіді за зразком (правильні відповіді заздалегідь записані за дошкою або роздані картки з розв'язаннями для самостійного опрацювання).

III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Для усвідомлення учнями необхідності вивчення матеріалу цього уроку можна певним чином створити проблемну ситуацію: запропонувавши спочатку завдання на повторення (розв'язування рівняння з однією змінною відповідного виду — див. домашнє завдання на повторення), потім перенести ситуацію в нові умови — запропонувати для розв'язування нерівність, яка відрізняється від розв'язаного рівняння тільки знаком (замість знака рівності поставити знак нерівності). Таким чином формулюється проблема: чи можливо розв'язати запропоновану нерівність, здійснюючи ті самі кроки, що і при розв'язуванні рівняння (з урахуванням існуючих відмінностей у властивостях рівностей та нерівностей)? Пошук відповіді на це запитання і є основною метою уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1.   Чи є правильною нерівність:

1) -8 : 2 < 10 : (-3);    

2) 3 – 5 < -1;        

3) 1 – 0,8 : 0,04 > -10;

4)  –  > ;           

5) ?

2.   Які з чисел: 3; 3,14; 3,1403; n — є розв'язками нерівності х < 3,14?

3.   Розв'яжіть нерівність:

1) 1 – х < ;              

2) -6х > 3;         

3) х + 2 > 0.

4.   Запишіть числові проміжки, що відповідають рисунку:

1)		2)
3)		4)

V. Доповнення знань

Методичний коментар

При роботі над складанням схеми дій для розв'язування нерівностей з однією змінною, які містять дробові коефіцієнти, учні мають усвідомити, що попри існуючу відмінність у властивостях числових рівностей і числових нерівностей схеми дій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей першого степеня з однією змінною дуже схожі. Додатково до питання про спосіб розв'язування нерівностей з однією змінною, що містять дробові коефіцієнти, бажано розглянути свого роду протилежний випадок — коли для спрощення процесу розв'язування нерівності доцільно попередньо виконати ділення правої та лівої частин нерівності на НСК коефіцієнтів правої та лівої частин нерівності (для усвідомлення способу відповідних дій можна також запропонувати учням відповідне рівняння з однією змінною). У будь-якому разі після виконання записів розв'язання прикладів учитель має або сам, або залучивши до цього учнів зробити висновок про те, що як і при розв'язуванні рівнянь, так і при розв'язуванні нерівностей перше рівносильне перетворення, яке бажано виконати,— це множення або ділення обох частин на те саме число з метою спрощення виду даної нерівності.

Основні кроки розв'язування нерівностей з однією змінною
1. Якщо нерівність містить дроби, то множимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник усіх дробів, які входять у нерівність.
2. Якщо в нерівності є дужки, то розкриваємо їх.
3. Переносимо доданки зі змінною в одну частину нерівності, а інші доданки — у другу частину.
4. Зводимо подібні доданки, одержуємо лінійну нерівність. Розв'язуємо лінійну нерівність за схемою (див. опорний конспект № 8).
Приклад. Розв'яжемо нерівність:
; НСЗ (2; 6) = 6 3(у + 1) + 2у – 1 < 6у; 3у + 3 + 2у – 1 < 6у;	5y + 2 < 6y; 5у – 6у < -2; -у < -2; у > 2.
Відповідь: y  (2; +∞).

VI. Формування вмінь

Усні вправи

1.   Розв'яжіть нерівність:

1) 2x < 8;                    

2) 3х ≥ 6;                    

3) 0х > 11;

4) 0х < -7;                  

5) 0х < 8;                    

6) 0x > -3;

7)  > 1;                    

8) ;                     

9) .

2.   Спростіть вираз:

1) 7(1 – 2x) + 5х;        

2)  ∙ 5;              

3)  ∙ 4;

4) х(х + 2) – 3х(х – 1).

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:

1)  розв'язати нерівності з однією змінною, що містять дробові коефіцієнти або цілі коефіцієнти, які мають спільний дільник;

2)  розв'язати нерівності з однією змінною, що потребують застосування тотожних перетворень раціональних виразів;

3)  на повторення: завдання на знаходження перерізу та об'єднання числових проміжків, а також на повторення змісту понять системи та сукупності нерівностей з однією змінною.

Методичний коментар

Метою вправ, запропонованих для розв'язування на уроці, є закріплення термінології, вивченої на попередньому уроці, подальше вдосконалення навичок рівносильних перетворень нерівностей з однією змінною, розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною, а також вироблення "вмінь виконувати дії за схемою, складеною на попередньому етапі уроку.

VII. Підсумки уроку

Контрольне завдання

Знайдіть та виправте помилки:

;

6 ∙ 3x + 6 ∙ х < 4;

24х < 4;

x > 6.

Відповідь: (6; + ∞).

VIII.    Домашнє завдання

1.   Повторити зміст понять, вивчених на попередньому уроці, а також вивчити схему дій, складену на даному уроці.

2.   Розв'язати вправи, аналогічні за змістом вправам класної роботи.

3.   На повторення: знаходження перерізу та об'єднання числових проміжків.

Тема. Розв'язування систем (та сукупностей) лінійних нерівностей з однією змінною

Мета уроку: домогтися закріплення учнями змісту: поняття система нерівностей з однією змінною (та поняття сукупності нерівностей з однією змінною); означення рівносильних нерівностей та властивостей рівносильних нерівностей; означення лінійної нерівності з однією змінною та схеми її розв'язування залежно від різних значень коефіцієнтів. Доповнити знання учнів уявленням про схему дій при розв'язуванні систем нерівностей з однією змінною, що зводяться до лінійних; схему дій при розв'язуванні сукупностей нерівностей з однією змінною, що зводяться до лінійних. Виробити вміння: виконувати дії відповідно до вивчених схем для розв'язування систем і сукупностей нерівностей з однією змінною. Продовжити роботу з вдосконалення вмінь: відтворювати зміст вивчених понять і алгоритмів; застосовувати їх для розв'язування вправ, що передбачають розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною.

Тип уроку: формування та закріплення знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: ТЗН.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Для здійснення поточного контролю засвоєння учнями матеріалу попередніх двох уроків пропонуємо учням виконати тестові завдання . Якість виконання завдань перевіряється одразу по виконанні роботи (для більшої ефективності роботи залучаємо ТЗН).

III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Створити відповідні умови для мотивації навчальної діяльності учнів учитель може, як завжди, запропонувавши учням розв'язати конкретне практичне завдання, таке, що приводить їх до усвідомлення необхідності вивчення способів розв'язування як систем, так і сукупностей нерівностей з однією змінною (це може бути, наприклад, завдання розв'язати нерівність з модулем або яка-небудь практична задача на розв'язання системи або сукупності нерівностей). Проаналізувавши запропоновану ситуацію, учні мають дійти висновку, що на практиці часто постає питання про відшукання всіх спільних розв'язків нерівностей з однією змінною (розв'язання системи нерівностей) або про відшукання всіх значень змінних, при яких хоча б одна з нерівностей перетворювалася на правильну (розв'язання сукупності нерівностей); а тому метою даного уроку є вивчення способів розв'язування систем нерівностей (а також сукупностей нерівностей) з однією змінною.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів
Усні вправи

1.   При яких значеннях х дріб :

1) визначений;           

2) дорівнює нулю?

2.   Розв'яжіть нерівність:

1) 2х > 4;   

2) –х ≥ 3;   

3) –x ≤ 0;   

4) х ≤ 5;  

5)  < -2;  

6)  > 10.

3.   Знайдіть переріз та об'єднання проміжків, що відповідають парі нерівностей:

1) х ≥ 3 і ≥ 5;             

2) х ≥ 3 і х ≤ 5;           

3) х ≥ 5 і х ≤ 3.

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Схема розв'язування систем нерівностей з однією змінною. Приклади.

2.   Схема розв'язування сукупностей нерівностей з однією змінною. Приклади.

Основні кроки розв'язування системи нерівностей з однією змінною

1. Розв'язуємо кожну нерівність системи. 2. Зображуємо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій. 3. Знаходимо переріз числових проміжків, записуємо відповідь.

Приклад. Розв'яжемо систему нерівностей  Розв'язання     (див. рисунок).  Відповідь: х  .

Основні кроки розв'язування сукупності нерівностей з однією змінною 1. Розв'язуємо кожну нерівність сукупності. 2. Зображуємо множину розв'язків кожної нерівності на одній координатній прямій. 3. Знаходимо об'єднання числових проміжків, записуємо відповідь.

Приклад. Знайдемо розв'язок сукупності нерівностей

Розв'язання     (див. рисунок).

Відповідь: x  (-∞; 0)  (4; +∞).

Методичний коментар

Якщо на попередніх уроках в учнів сформувалися чіткі уявлення про зміст понять: система нерівностей з однією змінною, сукупність нерівностей з однією змінною, переріз та об'єднання числових проміжків, розв'язок нерівності з однією змінною, розв'язок системи та сукупності нерівностей з однією змінною, а також сталі навички розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною та рівносильних перетворень нерівностей до виду лінійних, то при вивченні матеріалу даного уроку учні зазвичай не мають труднощів. Тому перед вивченням змісту нового матеріалу уроку доречно буде провести актуалізацію основних необхідних для цього знань та вмінь, яких учні набули протягом попередніх уроків (див. усні вправи вище).

Схеми, що пропонуються до опрацювання (див. план), є стандартними і повністю відповідають уявленням учнів про зміст понять «що означає розв'язати систему нерівностей з однією змінною» і «що означає розв'язати сукупність нерівностей з однією змінною» (тому можна запропонувати скласти ці схеми самим учням).' Проте приклади на застосування складених схем доречно підібрати таким чином, щоб учні побачили якомога більше різних випадків розв'язків цих систем або сукупностей (наприклад, коли одна з нерівностей не має розв'язків або коли одна з нерівностей має розв'язком усю числову пряму і т. д.). Також (якщо дозволяє час та рівень активності інтелектуальної діяльності учнів) на даному уроці можна розглянути «особливі випадки» систем лінійних нерівностей з однією змінною, які можна розв'язувати без допомоги числової прямої за правилами «більше більшого» (для систем нерівностей виду х > а, х > b) і «менше меншого» (для систем нерівностей виду х < а, х < b). Наприкінці бесіди про застосування вивчених схем слід обговорити питання про застосування розв'язування систем нерівностей з однією змінною для розв'язування подвійних нерівностей (особливо у випадках, коли іншим способом, тобто через застосування властивостей числових нерівностей, це зробити буває досить проблематично).

VI. Формування вмінь

Усні вправи

1.   Чи є числа: -4; 0; 5 — розв'язками:

1) системи              2) сукупності 

2.   На рисунках позначено множини розв'язків нерівностей системи. Чи є правильним запис множини розв'язків системи?

1)		2)
3)		4)

Письмові вправи

Вправи, запропоновані до розв'язання на уроці, мають відтворювати описані в теоретичній частині уроку ситуації, а саме передбачати закріплення знань та вироблення умінь застосовувати:

1)  схему розв'язування систем нерівностей з однією змінною, що зводяться до лінійних нерівностей;

2)  схему розв'язування сукупностей нерівностей з однією змінною, що зводяться до лінійних нерівностей;

а також подальше вдосконалення вмінь учнів виконувати рівносильні перетворення нерівностей з однією змінною та розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною.

Методичний коментар

Вправи, які слід розв'язати на уроці, мають бути спрямовані на вироблення навичок швидкого, послідовного та безпомилкового виконання дій: а) розв'язування кожної нерівності системи (сукупності); б) знаходження перерізу (об'єднання) знайдених проміжків. При цьому вчителеві слід нагадати учням, що координатну пряму учні використовують для своєї зручності, тому рисунок відіграє допоміжну роль; це означає, що важливим у рисунку є лише правильне зображення послідовності розташування чисел на прямій. Після набуття певного досвіду з розв'язування систем нерівностей деякі учні усвідомлюють, що досить часто розв'язок системи нерівностей можна знаходити і без рисунка, тому від таких учнів не слід вимагати обов'язкового виконання рисунків. Для закріплення всіх контрольних моментів, відтворених у прикладах, які вчитель наведе при поясненні нового матеріалу, слід підібрати відповідні за змістом тренувальні вправи.

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1.   Що означає «розв'язати систему нерівностей»? Опишіть дії, які треба виконати, щоб отримати розв'язок системи нерівностей.

2.   Дано систему При яких а розв'язком системи є проміжок: 

1) (3; +∞);   2) (4; +∞);   3) (3; 4)?

3.   Дано систему:  При яких а система має розв'язок:
1) [2; 3];   2) розв'язків немає;   3) х = 5?

VIII.    Домашнє завдання

1.   Вивчити алгоритми виконання дій, складених та опрацьованих на уроці.

2.   Розв'язати завдання на формування навичок використання вивчених алгоритмів.

3.   Повторити означення та геометричний зміст модуля числа.

Тема. Розв'язування систем (та сукупностей) лінійних нерівностей з однією змінною

Мета уроку: закріплення учнями знань змісту понять: нерівність з однією змінною, розв'язок нерівності з однією змінною та що означає розв'язати нерівність з однією змінною; система нерівностей з однією змінною, розв'язок системи нерівностей з однією змінною та що означає розв'язати систему нерівностей з однією змінною; сукупність нерівностей з однією змінною, розв'язок сукупності нерівностей з однією змінною та що означає розв'язати сукупність нерівностей з однією змінною, а також закріплення знань учнів про схеми розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною, їхніх систем та сукупностей. Доповнення знань учнів схемами розв'язування найпростіших нерівностей з модулем (з використанням геометричного змісту модуля), а також прикладами завдань на складання та розв'язування систем нерівностей з однією змінною (зокрема на знаходження ОДЗ виразу). Виробити в учнів уміння: відтворювати зміст вивчених понять і використовувати їх для розв'язування практичних завдань.

Тип уроку: удосконалення вмінь, відпрацювання навичок.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Учитель перевіряє виконання роботи в учнів, що потребують додаткової педагогічної уваги (збирає їхні зошити для перевірки та за необхідності роздає матеріали для проведення корекційної роботи).

Фронтально можна провести роботу у формі гри «Знайди помилку» — запропонувати учням знайти у розв'язанні вправ домашнього завдання «помилки» (які вчитель навмисне зробив у запропонованому учням варіанті виконання домашнього завдання). Цей вид роботи можна провести як в усній формі, так і у формі письмової самостійної роботи. В останньому випадку результати виконання роботи, слід одразу ж перевірити (наприклад,, у нарах) та скорегувати; учнів, що впораються із завданням без помилок, слід заохотити відповідними оцінками.

III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Результати (тобто припущені учнями помилки) виконання домашнього завдання та/або самостійних вправ на початку уроку, а також наступне обговорення припущених помилок дають можливість учням усвідомити необхідність продовження роботи з відпрацювання навичок застосування вивчених на попередніх трьох уроках алгоритмів. Окрім того, на цьому етапі уроку будуть доречними слова вчителя про те, що розв'язування систем та сукупностей нерівностей з однією змінною є засобом розв'язування деяких видів нерівностей; про деякі з таких нерівностей мова буде йти на даному уроці.

Таким чином, удосконалення навичок розв'язування нерівностей з однією змінною та їхніх систем і сукупностей разом із вивченням сфери їх практичного застосування становить основну дидактичну мету уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1.   Розв'яжіть нерівність:

1) 3х > 6;   

2) –х > -5; 

3) –х < 0;   

4) х > -2;  

5)   < -4;     

6)  > 1,5.

2.   Розв'яжіть систему нерівностей:
1)  2)  3)  4)  5)  6) 

3.   Назвіть кілька чисел, що задовольняють умову:

1) | x | = 2;    2) | x | > 2;    3) | х | < 2.

V. Доповнення знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Розв'язування нерівностей виду | х | < а.

2.   Розв'язування нерівностей виду | х | > а.

3.   Приклади завдань на складання та розв'язування систем нерівностей з однією змінною.

Методичний коментар

Викладення питання про розв'язування найпростіших нерівностей з модулем ведеться традиційно та ґрунтується на геометричному змісті модуля (модуль числа — це відстань від початку відліку на координатній прямій до даної точки). Тому задля кращого розуміння учнями схем розв'язування цих нерівностей перед їх вивченням необхідно провести відповідну роботу з повторення знань та вмінь учнів щодо означення модуля числа та деяких властивостей модуля, а також щодо розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною та їхніх систем і сукупностей (див. усні вправи вище).

Також традиційно розглядається питання про застосування систем рівнянь для розв'язування стандартної задачі на знаходження ОДЗ виразу, що містить змінну під знаком арифметичного квадратного кореня.

Найпростіші нерівності з модулем
Наприклад: |x – 1| < 3;   x  (-2; 4).	Наприклад: |x – 1| > 3;   x  (-∞; -2)  (4; +∞).
Приклад 1. Визначимо, при яких значеннях змінної має зміст вираз . Розв'язання
Вираз  має зміст, коли підкореневі вирази невід'ємні і знаменник не дорівнює 0, тобто виконується система:
х є [-1,5; 4,5).
Відповідь: [-1,5; 4,5).
Приклад 2. Розв'яжемо нерівність | 7х + 8 | < 2.
Розв'язання
Дана нерівність рівносильна системі:
. Відповідь: .

VI. Відпрацювання навичок. Удосконалення вмінь
Усні вправи

1.   Кожну з нерівностей замініть рівносильною системою або сукупністю нерівностей:

1) |x| > 3;          

2) |x| < 3;          

3) |х – 2 | > 2;    

4) |x – 3| < 1.

2.   Розв'яжіть систему нерівностей:

1)            2)       3) 

Письмові вправи

Методичний коментар

Зміст вправ, винесених на поточний урок, так само, як і на попередніх уроках, має спрямування на вироблення навичок безпомилкового виконання таких дій:

1)  рівносильні перетворення нерівностей з однією змінною;

2)  розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною;

3)  розв'язування систем і сукупностей лінійних нерівностей з однією змінною;

4)  розв'язування нерівностей виду | х | < а шляхом розв'язування систем лінійних нерівностей з однією змінною;

5)  розв'язування нерівностей виду | х | > а шляхом розв'язування сукупностей лінійних нерівностей з однією змінною.

Цього можна домогтися за рахунок достатньо великої кількості вправ різного рівня складності. Для того щоб пожвавити цю одноманітну роботу, учитель може організувати її проведення у нестандартному вигляді, наприклад, у формі математичної естафети, математичного бою, або підготувати завдання на картках-підказках.

Під час усної роботи на уроках корисно пропонувати учням вправи на повторення цих моментів.

VII. Підсумки уроку

Учні виконують самостійну роботу. 

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити схеми розв'язування нерівностей виду | x | < а, | х | > а.

2.   Виконати вправи на застосування вивчених схем.

3.   Повторити: зміст основних понять теми 1 та схем дій, вивчених у цій темі, а також скласти загальну схему, що відображує логічний зв'язок між питаннями теми; розв'язати вправи на застосування цих теоретичних положень (див. зміст вправ класної роботи).

Тема. Підсумковий урок

Мета уроку: повторити, систематизувати та узагальнити знання і способи дій, які опанували учні під час вивчення теми 1 «Нерівності».

Тип уроку: систематизація й узагальнення знань та вмінь.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Для економії часу ретельній перевірці підлягають лише вправи на застосування алгоритмів, вивчених на попередньому уроці та складених учнями вдома.

III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Основна дидактична мета уроку та завдання на урок цілком логічно випливають із місця уроку в темі — оскільки урок є передостаннім, підсумковим, то на порядку денному постає питання про повторення, узагальнення та систематизацію знань та вмінь, набутих учнями в ході вивчення теми 1 «Нерівності». Таке формулювання мети створює відповідну мотивацію діяльності учнів.

IV. Повторення та систематизація знань учнів

Методичний коментар

Залежно від рівня підготовки учнів їхню роботу вчитель може організувати різними способами: або як самостійну роботу з теоретичним матеріалом (наприклад, за підручником або конспектом теоретичного матеріалу повторити зміст основних понять теми або скласти схему, що відображає логічний зв'язок між основними поняттями теми, тощо), або традиційно провести опитування

(у формі інтерактивної вправи) за основними питаннями теми (див. усні вправи нижче).

Усні вправи

1.       Коли число а більше від числа b, менше від числа b, дорівнює числу b?

2.       Як розміщені на координатній прямій точки, що відповідають числам а і b, якщо а  b?

3.       Які нерівності називають строгими? нестрогими?

4.       Сформулюйте властивості числових нерівностей.

5.       Сформулюйте властивість додавання числових нерівностей.

6.       Сформулюйте властивість множення числових нерівностей.

7.       Наведіть приклади нерівностей з однією змінною. Яка нерівність називається лінійною нерівністю з однією змінною?

8.       Що називається розв'язком нерівності з однією змінною? Що означає розв'язати таку нерівність?

9.       Наведіть приклади числових проміжків.

10.   Які нерівності називають рівносильними?

11.   Сформулюйте властивості рівносильності нерівностей.

12.   Коли нерівності з однією змінною утворюють систему нерівностей?

13.   Що називається розв'язком системи нерівностей з однією змінною?

14.   Назвіть кроки розв'язування системи нерівностей з однією змінною.

V. Повторення та систематизація вмінь учнів

Методичний коментар

Зазвичай цей етап уроку проводиться у формі групової роботи, мета якої полягає в тому, щоб учні самі сформували та випробували узагальнену схему дій, якої вони мають дотримуватися при розв'язуванні типових завдань, подібні до яких будуть винесені на контроль. Типовими завданнями є такі:

1)  виконати зображення числового проміжку, що відповідає даній нерівності з однією змінною;

2)  знайти переріз або об'єднання числових проміжків;

3)  розв'язати лінійні нерівності з однією змінною;

4)  розв'язати системи та сукупності лінійних нерівностей з однією змінною;

5)  розв'язати нерівності виду | х | < а шляхом розв'язування систем лінійних нерівностей з однією змінною;

6)  розв'язати нерівності виду | х | > а шляхом розв'язування сукупностей лінійних нерівностей з однією змінною;

7)  знайти ОДЗ виразу, що містить змінну під знаком арифметичного квадратного кореня;

8)  розв'язати лінійну нерівність з однією змінною з параметром.

Після формування списку основних видів завдань учитель об'єднує учнів у робочі групи (за кількістю видів завдань), і завдання кожної з груп формулюється так: «Скласти алгоритм розв'язування завдання...» (кожна з груп отримує своє особисте завдання). На складання алгоритму кожній із груп відводиться певний час, за який учасники групи мають; скласти алгоритм, записати його у вигляді послідовних кроків, підготувати презентацію своєї роботи. По закінченні відбувається презентація виконаної роботи кожною з груп. Після презентації — обов'язкове випробування алгоритмів: причому бажано, щоб групи обмінялись алгоритмами і перевірили їх застосування не на одному, а на кількох завданнях. Після випробування — обов'язкова корекція та підбиття підсумків.

VI. Підсумки уроку

Підсумком уроку узагальнення та систематизації знань і вмінь учнів є, по-перше, складені самими учнями Узагальнені схеми дій при розв'язуванні типових завдань, по-друге», здійснення учнями необхідної частини свідомої розумової діяльності — рефлексії — відображення кожним учнем свого сприйняття своїх успіхів та, найголовніше, проблем, над якими слід ще попрацювати.

VII. Домашнє завдання

1.   Вивчити складені на уроці алгоритми.

2.   Використовуючи складені алгоритми, виконати тренувальну контрольну роботу.

Тема. Тематична контрольна робота № 2

Мета уроку: перевірити рівень знань та вмінь учнів, набутих ними під час вивчення теми 1 «Нерівності»,

Тип уроку: контроль знань та вмінь.

Наочність та обладнання: роздавальний матеріал (картки з розв'язаннями завдань тематичної контрольної роботи №2).

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Учитель збирає зошити із виконаною домашньою контрольною роботою (робота перевіряється та враховується при виставленні тематичного бала).

III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Учитель ще раз може наголосити, що метою тематичної контрольної роботи є демонстрація учнями своїх навчальних досягнень, а саме: знання змісту основних понять та алгоритмів, вивчених у темі 1 «Нерівності», а також уміння застосовувати набуті знання при розв'язуванні вправ.

IV. Тематична контрольна робота № 2

Учні виконують контрольну роботу.

V. Підсумки уроку

Як варіант проведення цього етапу уроку можна запропонувати оголошення правильних відповідей до завдань контрольної роботи, виконаних учнями, або роздати їм для опрацювання вдома (домашній аналіз контрольної роботи) копії правильних розв'язань, заготовлені вчителем заздалегідь.

VI. Домашнє завдання

1.   Виконати аналіз контрольної роботи (за розданими розв'язаннями).

2.   Повторити означення функції та супутніх понять.

УРОК № 17

Тема. Функції. Властивості функції: нулі функції, проміжки знакосталості, зростання і спадання функції

Мета уроку: повторити й систематизувати набуті учнями у 7 та 8 класах знання про означення, властивості числових функцій та приклади елементарних числових функцій і вигляд їхніх графіків. Сформувати знання учнів про спосіб задання функції формулою у =f(x). Повторити та систематизувати вміння учнів знаходити значення функції, що відповідає даному значенню аргументу, за даною формулою, і навпаки, а також уміння розв'язувати задачі на знаходження області визначення, області значень функції, а також умінь працювати з готовим графіком функції; виробити оперативні вміння роботи з формулою y = f(x).

Тип уроку: систематизація знань та вмінь, формування знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 12.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель повідомляє учням про зміст, орієнтовний план вивчення теми 2 та графік проведення контрольних робіт.

II. Перевірка домашнього завдання

Оскільки домашнє завдання попереднього уроку полягало у самостійному виконанні аналізу контрольної роботи за розданими вчителем розв'язаннями, на цьому етапі уроку достатньо провести роботу з роз'яснення найскладніших для учнів моментів контрольної роботи. У разі необхідності вчитель може роздати учням індивідуальні завдання на відпрацювання проблемних моментів.

ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Учитель нагадує учням про те, що однією з основних змістовних ліній курсу алгебри середньої школи є функціональна лінія. Також учитель нагадує учням, що деякі відомості про функції (означення функції, означення області визначення функції, області значень функції, графіка функції тощо) учні вже отримали в 7 та 8 класах. Проте вивчених відомостей недостатньо для того, щоб розв'язувати деякі практичні задачі (порівняння значень функцій без обчислення цих значень і т. д.). Тому на цьому уроці постає питання про повторення основних означень та властивостей функцій, а також про існування деяких інших властивостей функцій, вивчення цих властивостей і формування певних оперативних умінь застосовувати ці властивості для розв'язування задач. Останнє твердження виражає головну дидактичну мету даного та наступного уроків.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1.   Виконайте дії:

1) -1,73 – 2,77;           

2) -4,5 ∙ 0,4;                        

3) 43 : 23;

4) -0,6 ∙ (-0,3) - 0,2;    

5) (3,1 + 0,09)0 : ;    

6) (-7 + 2,5) : 1,5.

2.   Знайдіть значення виразу:

1) 3 – 2а при а = -3;            

2) 2х - 5 при х = 3;

3) х + у при x = 24, y = -16.

3.   При яких значеннях змінної існує вираз:
1) х + 9;             

4.   2)  + 9;              

5.   3) ;                

6.   4) ;
5)  + 9;            

7.   6) ;         

8.   7) ?

V. Систематизація та доповнення знань

План вивчення матеріалу

1.   Означення числової функції. Супутні поняття. Задання функції формулою y = f(x).

2.   Область визначення функції. Як знайти область визначення функції, заданої формулою y = f(x).

3.   Область значень функції.

4.   Графік функції.

5.   Основні види елементарних функцій, вивчені у 7 та 8 класах, їхні властивості та графіки.

Функція — це залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню х відповідає єдине значення у.
		Позначається: y = f(x), де х — аргумент (незалежна змінна); у — функція, значення функції (залежна змінна); f(x0) — значення функції в точці х0.
Приклад. Дано функцію f(x) = x2 - 3х + 2. Знайдемо: 1) f (0) 2) f (-1); 3) f (а). Розв’язання
1) f (0) = 02 – 3 ∙ 0 + 2 = 2; 2) f (-1) = (-1)2 – 3 ∙ (-1) + 2 = 6; 3) f (a) = a2 – 3a + 2.
	Область визначення функції D(f) — це множина всіх значень, яких набуває аргумент.
	Як знайти область визначення функції y = f(x)
	1.  Якщо f(x) — многочлен, то D(f) = R.
	2. Якщо , D(f) знаходимо з умови: Q(x)  0 (знаменник дробу не дорівнює 0).
	3.  Якщо  , то D(f) знаходимо з умови: R(x) ≥ 0.
	Приклад. Знайдемо область визначення функції: 1) у = 3х2 – х + 1; 2) у = ; 3) .
	Розв'язання
	1)  3х2 – х + 1 — многочлен, тому D(y) = R; 2)  існує, коли 3х – 2 ≥ 0; х ≥ . Отже, D(y)= ; 3)   існує, коли х2 – 3x  0; х  0; х 3. Отже, D(y) = (-∞; 0)(0; 3)(3; +∞).
	Область значень функції E(f) — множина всіх значень змінної у, яких вона може набувати при всіх значеннях аргументу, взятих з D(f).
	Приклад. Знайдемо область значень функції у =  + 1. Розв'язання
	При всіх x D(f) ≥ 0, тому +1 ≥ 1, отже, для функції           у =  + 1 Е(у) = [1; +∞).
	Числовою функцією називають функцію, область визначення й область значень якої є числовими множинами.
	Графіком функції y = f(x) називають множину всіх точок координатної площини з координатами (х; f(x)), де х «пробігає» всю область визначення f(x) (a y —відповідне значення функції f у точці х).
	Деякі елементарні функції та їхні графіки
	1. y = kx + b —лінійна функція		2. у = x2
	3.  у =		4. y =

Методичний коментар

Навчальний матеріал уроку складається в основному з матеріалу, який було засвоєно учнями в 7 та 8 класах (новим є лише спосіб задання функції формулою y = f(x)). Проте обсяг навчального матеріалу досить великий. Тому для більш раціонального використання навчального часу на уроці вчитель може організувати роботу учнів з повторення та систематизації матеріалу як самостійну роботу з текстом підручника. Докладними поясненнями вчителя можуть бути доповнені питання про спосіб задання функції формулою y = f(x) і способи роботи з нею та про відшукання області визначення функції, заданої формулою y = f(x).

VI. Формування вмінь

Усні вправи

Функція задана формулою f (x) = .

1) Що означають записи f (2) і f (-8)?

2) Чому дорівнюють значення виразів f (2) і f (-8) ?

3) Яка область визначення функції?

4) Який із даних графіків є графіком цієї функції?

Письмові вправи

Вправи, запропоновані для розв'язування на даному уроці, мають відтворювати стандартні ситуації, розглянуті вище:

1)  для функції, заданої формулою у = f(x), знайти значення функції для заданого значення аргументу, і навпаки;

2)  для функції, заданої формулою у = f(x), знайти область визначення;

3)  за даним графіком функції знайти значення функції для заданого значення аргументу, знайти значення аргументу для заданого значення функції, знайти область визначення та область значень;

4)  для функції, заданої формулою у = f{x), визначити, які з точок лежать на графіку, а які не належать йому, а також визначити точки перетину графіка з координатними осями.

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1.   Через яку з даних точок проходить графік функції у = х2 + 2 ?

1) А(-2; 0);    2) В(-2; -2);    3) С(-2; 6);    4) D(-2; 2).

2.   Областю визначення якої з наведених функцій є проміжок (9; + ∞)?

1) y = ;      

2) у = ;     

3) у = ;      

4) у = .

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити зміст нових понять.

2.   Розв'язати вправи, аналогічні за змістом розглянутим на уроці.

3.   Повторити розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною.

Тема. Функції. Властивості функції: нулі функції, проміжки знакосталості, зростання і спадання функції

Мета уроку: сформувати знання учнів про зміст понять: нулі функції, проміжки, на яких функція зберігає свій знак (проміжки знакосталості функції), функція, що спадає на проміжку, та функція, що зростає на проміжку. Сформувати вміння відтворювати означення вивчених понять, а також розв'язувати задачі на знаходження нулів функції та на дослідження функцій на зростання та спадання на проміжку з використанням вивченого на уроці означення.

Тип уроку: формування знань та вмінь.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Для перевірки правильності виконання письмових вправ домашньої роботи можна організувати перевірку за зразком (якщо на попередньому уроці були труднощі з розв'язуванням вправ) або провести роботу у формі гри «Знайди помилку».

Засвоєння змісту теоретичного матеріалу перевіряється під час бесіди, або проведення математичного диктанту, або виконання тестових завдань [9, тест 8, завдання 1—3].

III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Учитель нагадує учням зміст бесіди, проведеної на такому самому етапі попереднього уроку, акцентуючи увагу на тому, що, повторивши основні відомості про зміст поняття функції та супутніх з ним понять курсу 7 та 8 класів, на даному та наступному уроках учні мають опрацювати інші поняття, пов'язані з поняттям функції. Вивчення цих нових властивостей функції та вироблення вмінь їх застосовувати при розв'язуванні задач — це і є основна мета уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1.   Розв'яжіть рівняння:

1) 2х + 1 = 0;             

2) 1 – 2х = 0.

2.   Розв'яжіть нерівність:

1) 1 – 2х < 0;              

2) 1 + 2х ≥ 0.

3.   При яких значеннях аргументу х  f(x) = 0, якщо:

1) f(x) = 1 + 2x + x2;   

2) f(x) = ?

4.   Функцію задано формулою f(x) = 3x – 1. Знайдіть:

1) f (1);    2) f (0);    3) f (x1);    4) f (x2).

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Означення нуля функції. Проміжки знакосталості функції. Як знайти нулі та проміжки знакосталості функції, заданої графічно. Як знайти нуль функції, заданої формулою y = f(x).

2.   Означення функції, що зростає на проміжку.

3.   Означення функції, що спадає на проміжку.

4.   Як знайти проміжки зростання/спадання функції за її графіком,

5.   Як знайти проміжки зростання/спадання функції, заданої формулою y = f(x).

  

Властивості функції
1. Якщо для функції y = f(x) виконується умова f (х0) = 0 (х0  D( f )), то х0 — нуль функції.
		На рисунку х1, х2, х3 — нулі функції ( f (x1) = f (x2) = f (x3) = 0). Проміжки (-∞; x1), (x1; x2), (х2; х3), (х3; +∞) — проміжки знакосталості функції y = f(x).
2.
! Якщо необхідно визначити, чи є функція y = f(x) зростаючою/спадною на даному проміжку, то:
а) покладають умову х2 > х1;
б) записують різницю f(x2) – f(x1) та перетворюють її так, щоб можна було визначити її знак;
в) якщо f(x2) – f(x1) > 0, то f(x2) > f(x1), і при умові х2 > х1 це означає, що f(x)зростає на даному проміжку;
г) якщо f(x2) – f(x1) < 0, то f(x2)<f(x1), і при умові х2 > х1 це означає, що f(x) спадає на даному проміжку.

VI. Формування вмінь. Відпрацювання навичок

Усні вправи

1.   Яке з чисел (значень змінної х) є нулем функції у = 3х2 – 2х – 1:

1) 1;    2) -1;    3) ;    4) ?

2.   Відомо, що y = f(x) спадає на всій області визначення. Порівняйте:

1) f (3) і f (-3);    

2) f (-2) і f (-3,5);        

3) f  і f .

3.   Відомо, що y = g(x) зростає на всій області визначення. Порівняйте:

1) g(1) і g(0,1);   

2) g і g.

4.   Відомо, що y = h(x) зростає, якщо х  (-∞; 2], і спадає, якщо х  [2; +∞). Який із рисунків може бути зображенням графіка функції у = h(x)?

Письмові вправи

Вправи, запропоновані для розв'язування на цьому уроці, мають сприяти засвоєнню учнями змісту означень нуля функції, функції, що зростає на проміжку, та функції, що спадає на проміжку, і виробленню вмінь учнів виконувати дії для знаходження нулів функції, проміжків зростання та спадання функції за готовим графіком функції, а також із використанням формули у = f(x), що задає цю функцію.

Тому приблизний зміст вправ може бути таким:

1)  знайти нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання та проміжки спадання деякої функції, заданої графічно;

2)  за допомогою обчислень знайти нулі функції, заданої формулою y = f(x);

3)  за допомогою обчислень визначити, зростає чи спадає дана функція на заданому проміжку.

Методичний коментар

На даному уроці через систему усних і письмових вправ продовжується робота з відпрацювання навичок учнів виконувати тотожні перетворення раціональних виразів, розв'язувати раціональні та найпростіші ірраціональні рівняння, а також навичок роботи з графіками функцій (у декартових координатах).

VII. Підсумки уроку

Тестові завдання

1.   Числова функція задається:

а) рівнянням у = f(x);          

б) областю визначення;

в) аргументом;                    

г) графіком.

2.   У рівнянні y = f(x) число х — це:

а) аргумент;                        

б) область визначення;

в) функція;                          

г) область значення функції.

3.   Множина всіх точок з координатами (x; f(x)), де y = f(x) — задана функція, це:

а) точка;                             

б) лінія;      

в) f(x);                                 

г) графік функції y = f(x).

4.   Функція y = f(x) спадна, якщо:

а) х2 < х1;                            

б) f(x2) < f(x1);

в) при х2 > х1 f(х2) < f(x1);   

г) при х2 < х1 f(x2) < f(x1).

5.   Функція y = f(x) зростаюча, якщо:

а) при х2 > х1 f(x2) > f(x1);   

б) у2 > у1;

в) при х2 > х1 f(x2) < f(x1);   

г) х2 > х1.

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити зміст понять, розглянутих на уроці.

2.   Розв'язати вправи, аналогічні за змістом та рівнем складності виконаним у класі.

3.   Повторити розв'язування лінійних нерівностей та їхніх систем і сукупностей.

Тема. Функції. Властивості функції: нулі функції, проміжки знакосталості, зростання і спадання функції

Мета уроку: закріпити знання учнів про означення поняття нулів функції, проміжків знакосталості, функції, що зростає або спадає на проміжку, а також про способи відшукання названих характеристик функції у випадках, якщо функція задана графічно або аналітично. Закріпити вміння учнів виконувати дії для знаходження названих властивостей функцій. За допомогою вивчених означень та вироблених умінь дослідити відомі учням елементарні функції на предмет проміжків зростання та спадання.

Тип уроку:  закріплення знань та вмінь.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Перевірку виконання письмових вправ можна, як і на попередньому уроці, провести у формі само- або взаємоперевірки за зразком.

Засвоєння теоретичного матеріалу попереднього уроку можна перевірити під час фронтальної бесіди або виконання тестових завдань (див. нижче).

Тестові завдання

1.   Функція y = f(x) зростаюча, якщо:

а) х2 > х1;                                     

б) у2 > у1;

в) при х2 > х1 f(x2) < f(x1);            

г) при х2 > х1 f(x2) > f(x1).

2.   Функція y = f(x) спадна, якщо:

а) х2 < х1;                                     

б) f(x2) < f(xl);

в) при х2 < х1 f(x2) < f(xl);             

г) при х2 > х1 f(x2) < f(x1).

3.   Якщо відомо, що f(3) = 0, то:

а) х = 3 є нулем функції у = f(x);  

б) у = 3 є нулем функції y = f(x);

в) х = 0 — це нуль функції у = f(x);      

г) функція y = f(x) має нулі.

III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Після перевірки виконання домашнього завдання (як письмових вправ, так і усної його частини) та корекції можливих помилок учні усвідомлюють необхідність подальшої роботи із закріплення як знань, так і вмінь, які були сформовані на попередньому уроці.

Крім того вчитель може спрямувати увагу учнів на питання про дослідження відомих їм із курсу 7 і 8 класів функцій на предмет проміжків зростання й спадання та інших властивостей. Таким чином, учитель виділяє два основні напрямки роботи учнів на уроці, тобто формулює основні завдання на урок:

1)  закріпити знання та вміння, набуті учнями на попередньому уроці;

2)  за допомогою цих знань та вмінь дослідити елементарні функції, відомі учням, та зафіксувати отримані висновки у вигляді опорних тверджень.

IV. Закріплення знань

Усні вправи

1.   Розв'яжіть рівняння:

1) х2 – 3х + 2 = 0;               

2) 3x – 1 = 0;     

3) kx + b = 0 k  0 (відносно х).

2.   Розв'яжіть нерівність:

1) 5 – х ≥ 0;                

2) 1 – 3x < 0;     

3) 2х – 3 > 2x – 5;              

4) -х + 3 < -х – 1.

3.   У яких проміжках f(x) < 0, якщо:

1) f(x) = 1 – 2x;          

2) f(x) = 4x – 2?

4.   Відомо, що х1, х2, х3 — нулі функції f(x), причому f(x) > 0 на проміжках (х1, х2) і (х3; +∞); і f(x) < 0, якщо х  (-∞; х1) і х  (х2; х3). Як виконати ескіз графіка (див. рисунок), якщо функція має графіком безперервну лінію?

Методичний коментар

Під час розв'язування учнями усних вправ слід вимагати від них аргументованих відповідей (тобто пояснень із посиланням на відповідне означення, а також точного відтворення цього означення).

V. Закріплення знань

Письмові вправи

Зміст вправ, які планується розв'язати на даному уроці, майже такий самий, що і зміст вправ попереднього уроку:

1)  знайти нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання та проміжки спадання деякої функції, заданої графічно;

2)  за допомогою обчислень знайти нулі функції, заданої формулою y = f(x);

3)  за допомогою обчислень визначити, зростає чи спадає дана функція на заданому проміжку.

Проте до названих вправ додаємо вправи на дослідження елементарних функцій (лінійної, оберненої пропорційності, квадратичної функції та функції   у = ), знайомих учням із 7 та 8 класів, на зростання та спадання, а також на проміжки знакосталості. Результати цих досліджень слід зафіксувати як опорні факти і закріпити ці факти на усних та письмових вправах.

До названих вправ бажано додати вправи на повторення матеріалу попередніх уроків — на відшукання області визначення функції, заданої формулою y = f(x), і на відпрацювання навичок роботи з поняттям графіка функції та оперативних умінь роботи з формулою y = f(x).

VI. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1.   Яка з даних функцій є спадною (спадає на кожному проміжку своєї області визначення)?

1) у = 2;             

2) у = ;         

3) у = -2х;          

4) у = .

2.   Яка з даних функцій додатна на проміжку (2; +∞)?
1) у = 2;             

3.   2) у = х – 2;   

4.   3) у = -х + 2;

5.   4) у = .

VII. Домашнє завдання

1.   Вивчити зміст означень, розглянутих на попередньому уроці, та виділені на цьому уроці властивості елементарних функцій.

2.   Розв'язати вправи на застосування вивчених означень та фактів.

3.   Повторити зміст поняття «графік функції».

Тема. Найпростіші перетворення графіків функцій

Мета уроку: сформувати розуміння учнями змісту поняття «перетворення графіка функції», а також розуміння того факту, що певне перетворення рівняння функції тягне за собою перетворення графіка та навпаки. Сформувати знання учнів про основні види геометричних перетворень графіків функцій (на інтуїтивному рівні) та про рівняння функції, що задається цим перетворенням. Сформувати первинні уміння «читати» графіки функцій (тобто за готовими графіками задавати рівняння функцій), а також виконувати побудови графіків функцій за допомогою перетворень, заданих рівнянням даної функції.

Тип уроку: формування знань і первинних умінь.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Для економії часу на уроці в разі необхідності вчитель може запропонувати учням роздавальний матеріал — розв'язання домашніх вправ — самостійно опрацювати вдома.

Для організації поточного контролю за засвоєнням учнями знань та вмінь можна запропонувати їм тестові завдання (див. нижче), перевірка яких проводиться одразу після виконання. Учитель фіксує прізвища тих учнів, які потребують додаткової педагогічної уваги для можливості здійснення певної корекційної роботи.

Тестові завдання

1.   На рисунку зображений графік функції, область визначення якої D(f) = R. Правильним є твердження:

 

а) нулі функції: 2; 2,5; f(x) зростає, якщо х [-2; 3]; f(x) < 0, якщо x (5; +∞);

б) нулі функції: 2; 5; f(x) зростає, якщо x  [-2; 2]; f(x) < 0, якщо х  [5; +∞);

в) нулі функції:-2; 5; проміжок зростання x  [-2; 2]; f(х) < 0, якщо х  (5; +∞);

г) нулі функції: 3; проміжку зростання немає; f(x) < 0, якщо x  (-∞; -2) і x  (2; +∞).

2.   Область визначення функції у = :

а) х 5;             

б) х -5;            

в) х  -5, х 0;         

г) х  3.

3.   Область значень функції f(x) = x2 – 3:

а) (-∞; +∞);       

б) [3; +∞);         

в) [-3; +∞);                        

г) (-3; +∞).

4.   Якщо f(x) = 3х – 1, то:

а) f (3) < f (4);    

б) f (3) > f (4);    

в) f (3) < f (4);            

г) f (3) = f (4).

5.   Значення функції у(х) = -3х + 8 додатні, якщо:

а) х ≤ 2;          

б) х ≥ 2;          

в) х < 2;  

г) таких значень х немає.

III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

На цьому етапі уроку доречними будуть слова вчителя про те, що дослідження функцій за готовим графіком є більш простим, ніж за формулою (підтвердженням цієї думки можуть стати результати перевірки тестових завдань). Розвиваючи цю думку, вчитель повідомляє учням про те, що в ряді випадків для розв'язування задач необхідно буває побудувати графік функції, яка не є елементарною (учитель може навести ряд прикладів таких функцій). Отже, формулюється питання: чи існують засоби (і якщо існують, то як ними користуватися), за допомогою яких можна побудувати графік деякої функції, використовуючи при цьому вміння будувати графіки елементарних функцій (лінійної, оберненої пропорційності, квадратичної функції та функції у = ). Зрозуміло, що пошук відповіді на поставлене питання і є основною дидактичною метою уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1.   Яка з наведених функцій є зростаючою:

а) на області визначення;    

б) на проміжках (-∞; 0) і (0; +∞)?

1) у = 4х – 1;      

2) у = ;  

3) у = -x + 1;   

4) у = 3х;

5) у = ;           

6) у = х2;    

7) у = -.

2.   Графіком якої з наведених функцій є пряма, що проходить через початок координат? Поясніть свою відповідь, не виконуючи побудови:

1) у = 2х + 1;      2) у = 2х;      3) у = 2х2;      4) у = 2;     5) у = ;     6) у = .

3.   На одному з рисунків зображено графік функції у = 2х. Укажіть цей рисунок.

4.   Для функції f(x) = x2 – 3 знайдіть значення виразу:
1) f (-2);      2) f (-1);    3) f (0);     4) f (1);     5) f (2);     6) f (3);    7) f (4);       8) f (5);     9) f (6).

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Уявлення про перетворення графіка функції.

2.   Побудова графіків паралельним перенесенням вздовж осі ординат (абсцис).

3.   Побудова графіка функції симетрією відносно осі абсцис.

4.   Розтягнення (стиснення) графіка функції вздовж осі ординат.

Найпростіші перетворення графіків функцій
№ з/п	Формула залежності	Приклад	Перетворення
1	y = -f(х)		Симетрія відносно осі Ох
2	y = f(х) + a		Паралельне перенесення вздовж осі Оу на а одиниць (якщо а > 0, то вгору, якщо а < 0, то вниз)
3	y = f(х + a)		Паралельне перенесення вздовж осі Ох на +а одиниць (якщо а > 0 — вліво, якщо а < 0 — вправо)
4	y = kf(х) (k > 0)		Той самий вигляд, що і y = f(x), тільки розтяг-нуто, якщо k > 1, і стиснуто, якщо 0 < k < 1

Методичний коментар

Одразу слід зауважити, що вивчення питання про геометричні перетворення графіків функцій на даному уроці є досить складним через певну невідповідність програм вивчення геометрії та алгебри у 9 класі. Ця невідповідність існувала у попередньо діючій програмі і, на жаль, збереглася в програмі для 12-річної школи. Тому формування уявлення про геометричні перетворення графіків функцій проводиться на даному уроці на інтуїтивному рівні, і вчителеві не слід акцентувати увагу на строгих означеннях виділених ним видів перетворень. Основна увага приділяється, встановленню і засвоєнню учнями зв'язку між рівнянням функції та певним видом перетворення графіка функції (цей зв'язок відображено в опорному конспекті № 14). Вивчення зв'язку між видом перетворення та рівнянням функції, як це відбувалось останні роки, проводиться через обчислення значень функції в окремих точках і спостереження за зміною значень функції в цих точках залежно від зміни виду функції.

VI. Формування вмінь

Усні вправи

1.   Як треба перетворити графік функції y = f(x), щоб утворився графік функції:

1) y = -f(x);        

2) y = f(x + 2);   

3) y = f(x – 2);    

4) y = f(x) + 2;   

5) y = f(x) – 2;    

6) y = 2f(x);        

7) y = ?

2.   Дано графіки функцій:

a) y = xa;    б) y = ;    в) у = .

Яке рівняння буде мати функція, графік якої утвориться із даних графіків функцій: 1) при паралельному перенесенні вгору на 3 одиниці; 2) при розтягненні в 3 рази; 3) при паралельному перенесенні вправо на 3 одиниці?

Письмові вправи

Зміст вправ, запропонованих до розв'язування на уроці, може бути таким:

1)              серед заданих графіків функцій вибрати ті, що відповідають даним рівнянням;

2)              побудувати графік функції, що задана рівнянням, виконавши відповідне до рівняння геометричне перетворення;

3)              на повторення: дослідити функцію, задану графічно, на монотонність, знайти її нулі, проміжки зростання й спадання та область значень.

(Завдання на побудову графіків функцій шляхом геометричних перетворень на даному уроці мають початковий або середній рівень складності.)

Методичний коментар

Формуванню сталих умінь виконувати побудову графіків функцій шляхом перетворень графіків елементарних функцій має передувати робота з повторення питань про види та особливості графіків елементарних функцій (ця робота проводилась протягом останніх чотирьох уроків). Формування вмінь виконувати побудову графіка функції шляхом геометричних перетворень ведеться паралельно із закріпленням знань учнів про формули, що відповідають цим перетворенням. Тому при виконанні як усних, так і письмових вправ на цьому та наступному уроках вчителеві слід вимагати від учнів в першу чергу аналізу формули даної функції, а потім вже вибору відповідно до неї геометричного перетворення , для побудови графіка функції. Такий підхід, по-перше, сприяє швидшому засвоєнню учнями змісту навчального матеріалу уроку, а по-друге, допомагає попередити помилки, які часто виникають в учнів, особливо, коли мова йде про паралельне перенесення вздовж різних координатних осей.

VII. Підсумки уроку

Контрольне запитання

Графік якої функції зображений на рисунку?

1) у = х2 + 3;                 

2) у = х2 – 3;

3) у = -х2 + 3;                 

4) у = -х2 – 3.

VIII. Домашнє завдання

1.   Засвоїти зміст вивчених на уроці перетворень і відповідних формул.

2.   Розв'язати вправи на застосування цих перетворень (рівень складності та зміст відповідають вправам, розв'язаним на уроці).

3.   На повторення: вправи на знаходження області визначення функції, нулів функції, проміжків зростання /спадання функції.